ch4. 화폐의 시간가치와 현금흐름 할인 분석
4.1 복리
4.2 복리의 빈도
4.3 현재가치와 할인
4.4 현금흐름 할인법에 의한 의사결정 규칙
4.5 복수의 현금흐름
4.6 연금현금흐름
4.7 영구연금현금흐름
4.8 부동산담보대출금의 분할상환
4.9 환율과 화폐의 시간가치
4.10 인플레이션과 현금흐름할인 분석
4.11 세금과 투자결정
## 소개 : 화폐의 시간가치
오늘의 20달러 는 내일의 20달러 보다 더 가치가 있을 것이다. 왜냐하면,
- 은행이 20달러 에 대한 이자를 지급할 것이다.
- 인플레이션이 가치를 하락시킬 것이다.
- 내일의 20달러 을 받을 불확실성 존재.
## 4.1 복리
- 연이자율 10%라고 가정한다.
- 만일 당신이 1달러 를 일년동안 투자한다면, 다음해에 당신은 1*(1+10/100) 또는 1.10을 보장받는다.
- 1년 동안 더 투자한다면 당신은 1.10*(1+10/100) 또는 1.21달러 을 보장받는다.
### 예치한 $1의 가치
이러한 방법으로 계속된다면 당신은 아래와 같은 금액으로 찾을 수 있다.
- 1년 - $1.1
- 2년 - $1.21
- 3년 - $1.331
- 4년 - $1.4641
### 예치한 $5의 가치
더욱이 10%이자율로 5달러 를 투자한다면 우리는 시간이 흐름에 따라 다음과 같이 얻을 수 있다.
### 방법의 일반화
용어정리
- i : 이자율
- n : 이자가 계산되어 원금에 합산되는 기간
- PV : 현재가치*
- FV : n기간 말 미래가치
### 원금의 미래가치
$$ FV = PV \times (1+i)^n $$
### 예제 : 원금의 미래가치
- 당신의 은행이 5년간 3%의 이자율로 CD를 제공한다
- 당신은 $1500를 5년간 투자하려고 한다. 당신의 투자는 얼마만큼의 가치가 있을것인가?
$$\begin{align}
FV &= PV \times (1+i)^n \\
&= 1500 \times (1+0.03)^5 \\
&= 1738.111145
\end{align}$$
n = 5
i = 3%
PV = 1500
FV = ?
Result = 1738.911111
### 원금의 현재가치
공식에서 PV 구하기
- $PV = \frac{FV}{(1+i)^n} = FV \times (1+i)^{-n} $
- $\frac{1}{(1+i)^n}$ : 할인계수(discount factor)
- $PV = FV \times 할인계수 $
### 예제 : 원금의 현재가치
- 당신은 사업에 대한 대가로 2년후 $40,000을 제공받기로 되어있다. 8%의 이자율하에서 현재가치는 얼마인가?
$$\begin{align}
PV &= \frac{FV}{(i+1)^n} \\
&=\frac{40,000}{(1+0.08)^2} \\
&=34293.55281 \\
&\simeq 34293.55
\end{align}$$
### 일시에 지급되는 현금흐름의 공식
- 당신은 일시에 지급되는 현금흐름에 대한 현재가치와 미래가치를 구할 수 있다. 이를 풀기 위한 두 가지 변수는 다음과 같다.
- 이자 : i
- 기간 : n
### 일시에 지급되는 현금흐름에 대한 이자율을 구하는 공식
공식에서 i를 구하면 된다.
$$\begin{align}
FV &= PV \times (1+i)^n \\
\frac{FV}{PV} &= (1+i)^n \\
(1+i) &= \sqrt[n]{\frac{FV}{PV}} \\
i &= \sqrt[n]{\frac{FV}{PV}} - 1
\end{align}$$
### 예제 : 원금투자에 대한 이자율
- 만일 당신이 10년동안 15000달러 을 투자한다면 당신은 10년후 30000달러 을 받게 될때 연간수익률은?
$$\begin{align}
i &= \sqrt[n]{\frac{FV}{PV}} - 1 \\
&= \sqrt[10](\frac{30000}{15000}) - 1 \\
&= 2^{1/10} -1 \\
&= 0.071773... \\
&\simeq 7.18\%
\end{align}$$
7.18% (to the nearest basis point)
### 로그함수
기초내용생략
### 일시에 지급되는 현금흐름에 대한 기간을 구하는 공식
공식에서 n을 구하면 된다.
$$\begin{align}
FV &= PV \times (1+i)^n \\
\frac{FV}{PV} &= (1+i)^n \\
\ln{\frac{FV}{PV}} &= \ln{(1+i)^n} = n * \ln{(1+i)} \\
n &= \frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{\ln{(1+i)}} = \frac{\ln{(FV)} - \ln{(PV)}}{\ln(1+i)}
\end{align}$$
## 4.2 복리의 빈도
- 여러분은 월간 복리로 연 18%의 이자율을 갖는 신용카드를 소지하고 있다. 연간 복리로 이자율은 얼마인가?
- 즉, 만일 당신이 카드로 \$1을 빌리면, 연말에 얼마의 빚이 있겠는가?
계산해보면
- 매월 복리로 계산된 연 18%의 이자율은 $$\frac{18\%}{12} = 월 1.5\%$$ 의 이자율로 해석된다. (연 18%의 6개월이면 $\frac{18}{2}$, 연 18%의 3개월이면 $\frac{18}{4}$)
- 모든 계산은 동일한 단위로서 표현되어져야 한다.
- 연단위, 월단위로 표현된 이자율은 계산에 이용되지 못할 수도 있다.
- 매월 복리로 계산된 연이자율은 월간복리로 매월 1/12로 적용되어야 한다.
- 서로 미시개념으로 복리 계산된 한개의 거시개념은 명목이자율 또는 annual percentage rate(APR) 이라고 한다.
- 만일 거시적인 기간개념이 미시적인 기간개념과 일치한다면 그 비율은 기간에 근거한 유효이자율 또는 실질이자율 이라고 한다.
### 실효이자율 (effective annual rate, EFF)
- 동일한 이자율을 적용하는 경우에도 복리계산의 빈도에 따라 실질적인 이자율이 달라지게 되는데, 이를 실효이자율(EFF) 이라고 한다.
- 만일 복리계산이 1년에 한 번만 이루어진다면 실효이자율은 연이자율과 동일하게 된다
$$ EFF = \left(1+\frac{APR}{M}\right)^m - 1 $$
- 1 거시기간에 M개의 미시기간이 포함된다고 가정하고 1 거시기간에 대해 k의 명목이자율이 적용된다면 유효이자율은 1 미시기간에 대해 k/M씩 적용된다(확인필요)
- 1 거시기간에 대해 1\$을 투자하고 있다면, $$ 1*(1+k/n)^n $$ 을 얻게되며 이때의 유효이자율은 $$ (\$1*(1+k/n)^n - \$1)/\$1 = (1 + k/n)^n - 1 $$ 이다.
(확인필요)
### 신용카드
- 만일 신용카드를 통해 월간 복리로 연간 18%의 평균이자율을 지급한다면 실질 월 이자율은 $\frac{18\%}{12} = 1.5\%$ 이다. 따라서 실질 연 이자율은 $ (1+0.015)^{12} - 1 =19.56\% $
- 다른 복리의 빈도수를 갖는 두개의 동일한 연평균이자율은 서로 다른 유효연간 이자율을 갖는다.
## 4.3 현재가치와 할인
미래의 한 시점에서 특정 금액을 얻고자 한다면 현재 얼마를 투자해야 하는가라는 질문에 대한 답은 어떻게 구할수 있는가?
- 예) 지금부터 8년 후 자녀의 등록금으로 15000달러 가 필요하다면 현재 얼마를 저축해야 하는가? - 답을 구하기 위해서는 미래의 특정 금액을 현재 가치로 계산해야 한다.
현재가치를 구하는 것을 할인한다고 하며, 이때 적용되는 이자율을 할인율이라고 한다. 재무에서 할인이라는 개념은 어떤 물건을 살때 가격을 할인하는 것과는 다른 것으로 미래의 특정 금액을 현재가치로 계산하는 것을 의미한다. 그리고 현재가치를 계산하는 것을 현금흐름할인(DCF) 분석이라고 한다.
18% 연이자율의 실효이자율
- (반기) $ EFF = (1+ \frac{6}{2})^2 - 1 $
### 복리의 빈도
- 복리의 빈도수가 증가할수록 실효이자율도 증가한다.
- 복리의 빈도수가 무한하게 증가하면 어떻게 되는가?
$$ EFF = \lim_{m \to \infty}{\left(\left(1+\frac{k_m}{m}\right)^m\right)} -1 = e^{k_\infty} - 1 $$
### 복리의 빈도
- 18%의 연평균이자율과 동일한 연 유효이자율은 $e^{0.18} -1 = 19.72\%$ 이다.
- 일일 복리 계산으로부터 연속 복리로 전환하는것은 1 basis point당 0.53의 이익을 얻음을 보여주고 있다.
(100bp = 1%)
### 복리의 빈도
- 은행은 중간 정도의 위험을 지닌 차입자에 대한 자동차론에 대해 12%의 유효이자율을 적용하기로 결정했다.
- 얼마만큼의 연평균이자율이 제공될 것인가?
### 복리의 빈도
$$\begin{align}
1+EFF &= \left( 1+ \frac{k_m}{m}\right)^m \\
1 + \frac{k_m}{m} &= (1+EFF)^{\frac{1}{m}} \\
k_m &= m * \left((1+EFF)^{\frac{1}{m}} -1 \right)
\end{align}$$
### 복리의 빈도
0 댓글